行测数量关系讲堂——牛吃草问题①

大科学家牛顿曾编过一个有趣的问题：

例1、牧场上有一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃22天；或者可供16头牛吃10天；如果25头牛吃这片牧草，能吃多少天？

这类问题又因此被称为牛顿问题，今天安徽考德上专家要带小伙伴们好好迎战大师的问题。

牛吃草问题，看起来让人摸不着头脑，不知如何下手。其实通过巧妙的思维方式转变，牛吃草问题可以转化成常规的工程问题来解答，如何转化请细看下文。各位考生其实只要记住一个公式就能很轻松快速地应对所有的牛吃草问题。

请务必熟记这个连等式：M=（N₁－x）t₁=（N₂－x）t₂=（N₃－x）t₃=xT

其中，M为原有草量，x为草生长速度，N₁、N₂、N₃为牛头数，t₁、t₂、t₃为相应的时间；T为草场的恢复时间。

以下红色文字是专供学霸看的，阐述这个公式是怎么来的，对于只为应付公考获得分数的同学可以直接跳过。

现在安徽考德上专家给大家讲解一下这个连等式，理解了之后就非常容易记了。

为了简化问题，我们假设每头牛每天吃1份草，草场每天生长x份草（这种设法用的是特值的思想，因为牛吃草速度和草生长速度必然是一个比值，为了简化计算我们分别设为1和x；假使我们分别设为v和vx，则在计算过程中v被约分，结果仍然一样）；因此有N₁头牛时，每天共吃掉N₁份草，同时草场每天生长x份草，这样每天草场净减少N₁-x份，t₁天吃完的含义就是以每天净减少N₁-x份草的速度让原有的M份草减少为0；于是可以得出M=（N₁－x）t₁；同样的道理，我们可以得出M=（N₂－x）t₂和M=（N₃－x）t₃。恢复时间T的含义是这片草场从无到有（草量从0到M份）所需要的时间，即以每天生长x份牧草的速度让草场从草量为0积累到M份所需的时间，因此M=xT。大家要注意的是即使草场草量为0，地下部分还有，所以其生长速度依然是x（当然这是理想化的模型，包括前文的假设，都很理想化。大家不要纠结，因为数学本身就是对现实生活的简化和理想化）。综合之后，就是以上的连等式了。

【解析】：因此对于文中开始的例1，可列式如下：（10－x）×22=（16－x）×10=（25－x）t；因为此处不需求恢复时间T，所以M=xT就无需列出来；大部分牛吃草问题都是这种情况，这时画蛇就无需添足了。

那么公式列出来了，如何快速地求解呢？安徽考德上专家提醒大家：关键是求出草生长速度x！请考生务必再记住一个公式：

所以刚才那一题：

；再将x代入连等式，解出t=5.5天；够25头牛吃5.5天

只要按照这个思路，这一类问题在半分钟内就能解出，而且因为计算量小，准确率基本上100%！

再练一题：

例2、秋天来了，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

【解析】：这里的草以固定的速度在减少，大家就手足无措了吗？注意，我们学过负数，知道“负翁”的概念，那么还想不通减少就是负生长即草生长速度x为负数吗？这也就是前文所说草生长速度x可以为负数的含义。

列式：（20－x）×5=（15－x）×6=（N－x）10；

求解：；最后代入求得N=5；因此够5头牛吃10天。

此题中草生长速度为-10，也就是草每天减少10份。

例3、牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，则牧场上最多放多少牛，草永远吃不完？

【解析】：我们一起来研究“最多放多少牛，草永远吃不完”的问题。大家试想一下，草场原有M份草，如果有N头牛吃，则每天净减少N-x份草。当每天净减少草量为正数，不管其值多么小，假以时日，则一定能够慢慢吃完；当每天净减少草量为负数，即每天草场草量不减反增时，则草量只会越来越多，永远吃不完；当每天净减少草量为0，即每天草场长出来的草刚好被牛吃完，则草量始终保持不变，同样永远吃不完，实现了可持续发展。因此草永远吃不完就要满足：N≤x；即要让草永远吃不完最多可供养N_max=x头牛。

列式：（10－x）×20=（15－x）×10；

求解：；这片牧场的草最多够5头牛永远吃不完。

牛吃草问题最原始的题型就是这样轻松被搞定的。然而在公考中很多题出的非常隐蔽，虽然属于牛吃草的类型，但却不出现“牛”和“草”的字样。那么对于这些问题，我们如何做到慧眼识题呢，请大家关注安徽考德上行测天天练每期，继续关注下一期的“行测每周讲堂”。